(01) (02) (03) (04) (05) (06) (07) (08) (09) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) туз (А) > король (К) > дама (Д) > валет (В)>десятка (10) > девятка (9) > восьмерка (8) > семерка (7) .
Существует великое множество карточных игр. И все они (не считая самых примитивных) требуют хорошей памяти, знания основ математики и логического мышления, то есть качеств, очень полезных во многих жизненных ситуациях, а не только за карточным столом. В фильмах нередко встречаются сцены игры в покер. Обычно они призваны продемонстрировать психологическое преимущество положительного героя, когда он на слабой комбинации "заблефовывает" противника. Или же показываются "богатые" шулерские возможности отрицательного героя. Однако в реальной жизни существуют случаи, когда с помощью простых математических соображений можно гарантировать выигрыш, не прибегая к весьма сомнительным способам игры. Рассмотрим один из таких примеров. Многие считают кроссворды слишком трудной головоломкой, потому что отгадать слово им не под силу. Но вписывать буквы в клетки нравится. Ч. Уэзерелл. Этюды для программистов В современном варианте покера используется "преферансная" колода из тридцати двух карт. Небольшой ее объем и отсутствие джокеров снижают долю случая и увеличивают возможности логического анализа. Напомним, что каждая из четырех мастей (пика, трефа, бубна, черва) содержит следующие карты:
Перечислим все названия и старшинство комбинаций карт, которые встречаются в покере.
Здесь и ниже обозначение a > b означает, что a сильнее b . Масти равноправны, обозначают ся первой буквой наименования, стоящей перед обозначением карты. Например: ПД - дама пик, Т7 - семерка треф, ЧА - туз червей и т. д.
( А, К, Д, В, 10 ) > ( К, Д, В, 10, 9 ) > ( Д, В, 10, 9, 8 ) > ( В, 10, 9, 8, 7 ) > ( 10, 9, 8, 7, А ).
Флеш-роял . Это пять карт одной масти, образующие так называемую "плотность". Внутри этого класса существует своя иерархия
Здесь левая - самая сильная комбинация - называется "флеш-роял Ас", а правая, наиболее слабая, - "циклический флеш-роял".
Каре . Это четыре карты одного достоинства, при этом
Цвет. Пять карт одной масти, не образующие "плотность". Самая сильная "цветная" комбинация - это ( А, К, Д, В, 9 ).
каре тузов > каре королей >... > каре семерок .
Фул (три + два). Три карты одного достоинства + две карты одного достоинства. Например, три короля + две десятки . При сравнении двух фулов сильнее тот, у которого старше тройка.
Тройка . Три карты одного достоинства.
Кент ( стрит ). Пять карт, образующие "плотность", но не одного цвета.
Доппер (два + два). Две пары карт одного достоинства (но не каре!).
Например, две девятки + две семерки. Некоторые из допперов имеют имена собственные. Так, два туза + два короля - "Бетон", а две восьмерки + две семерки - "Песок".
Двойка . Две карты одного достоинства.
Между собой комбинации упорядочены следующим образом:
Беспарье . Все остальные комбинации.
Опишем кратко техническую суть игры, например, между двумя участниками X и Y . Она включает в себя два этапа:
флеш-роял > каре > цвет > фул > тройка > кент > доппер > двойка > беспарье.
Мена и торговля . Каждый игрок по своему усмотрению может сбросить, не показывая сопернику, не более четырех своих карт и получить взамен столько же новых из "усеченной" колоды. После этого опять начинается поочередное повышение ставок. Если ставки уравниваются (второй тур торгов), карты открываются, и выигрывает тот, у кого сильнее карточная комбинация.
Раздача и торговля . Сначала игрокам раздается по пять карт (очевидно, в "усеченной" колоде остается на десять карт меньше). После этого игроки поочередно делают денежные ставки. Если ставки уравниваются (первый тур торгов), переходят к следующему этапу.
Проблема. Какова самая слабая комбинация (с учетом сброшенных карт), с которой можно ничего не бояться?
Основная проблема, с которой сталкиваются игроки X и Y , заключается в выяснении, "является ли его карточная комбинация более сильной". Отметим, что каждый игрок располагает знанием о своих сброшенных картах и своих картах на руках (всего не более девяти). Однако этого недостаточно для однозначного решения "основного вопроса", за исключением некоторых случаев. Например, если у игрока на руках "флеш-роял Ас", то ему, очевидно, некого бояться. В этой связи актуальна
сброшенных им карт + карты на руках, которые не участвуют в комбинации.
При решении этой задачи полезно ввести понятие о так называемых проходных картах. Будем называть проходными картами игрока X объединение
Перечислим карты определенной масти игрока X , которые ограничивают число возможных флеш-роялей (той же масти) у игрока Y :
Данные карты никак не влияют на силу самой комбинации, однако могут доставлять ценную информацию. В частности, если игрок X имеет комбинацию каре королей и среди его проходных карт есть туз, то ему можно не опасаться каре тузов у соперника. В этом случае говорят, что туз игрока X блокирует каре тузов игрока Y . Разумеется, и сама комбинация - носитель полезных сведений о возможности наличия тех или иных комбинаций у соперника. Естествен но назвать полным набором карт игрока X объединение карт его комбинации с набором его проходных карт.
б) валет или 9 , каждый в отдельности, блокируют четыре флеш-рояля;
а) 10 блокирует пять флеш-роялей (то есть все);
г) туз , король или 7 , каждый в отдельности, блокируют два флеш-рояля.
в) дама или 8 , каждая в отдельности, блокируют три флеш-рояля;
У т в е р ж д е н и е Пусть у игрока X на руках находится каре десяток, а среди проходных карт находятся ( В, Д, К, А ). Тогда у игрока Y всегда оказывается более слабая комбинация.
Справедливо следующее
Среди профессиональных игроков в покер бытует мнение, что утверждение 1 и есть правильное решение поставленной выше проблемы*. Однако с эстетической точки зрения представляется возможным усилить утверждение 1, поскольку в его формулировке используются лишь четыре (из пяти!) проходные карты. Покажем, что так действительно и обстоит дело. Назовем набор из четырех или пяти проходных карт "разномастным", если в нем представлены все четыре масти. Ниже используется информация о пяти проходных картах, и соответствующий результат является усилением предыдущего.
В самом деле, у игрока Y не может быть комбинации старшего каре, поскольку {валет, дама, король, туз} находятся среди проходных карт X . Кроме того, каждый флеш-роял содержит карту десятку. Поскольку все десятки у игрока X , то у Y не может быть никакой комбинации флеш-роял.
В самом деле: у игрока Y не может быть комбинации старшего каре, поскольку ( 10, В, Д, К, А ) находятся среди проходных карт. Теперь предположим, что у игрока Y есть комбинация флеш-роял. Поскольку все девятки у игрока X , то у него может быть только "флеш-роял Ас", то есть ( A, К, Д, В , 10 ). Пусть, например, масть этой комбинации пика, тогда у игрока X заведомо не будет следующих пяти карт: П10, ПВ, ПД, ПК, ПА .
У т в е р ж д е н и е Пусть у игрока X на руках находится каре девяток, а ( 10, В, Д, К, А ) - проходные и "разномастные". Тогда у игрока Y оказывается более слабая комбинация.
Здесь возникает вопрос о возможности усиления данного результата **. Отрицательный ответ на данный вопрос содержится в следующем.
Значит, в наборе проходных карт игрока X пиковая масть не представлена. Но это противоречит условию "разномастности". Аналогичным образом устанавливается отсутствие у игрока Y комбинации флеш-роял и в других мастях. Поэтому в данной ситуации игроку X действительно нечего бояться.
В самом деле, рассмотрим последовательно возможные варианты покерных комбинаций (более слабых, чем каре девяток ) на руках игрока X .
У т в е р ж д е н и е Пусть у игрока X находится комбинация ниже каре девяток . Тогда у игрока Y может оказаться более сильная комбинация при любом наборе проходных карт игрока X.
2) Цвет (например, пики). Несколько удивительно, что здесь у игрока X существует комбинация, которая в совокупности с четырьмя проходными картами блокирует все флеш-рояли и все каре у игрока Y . Например,
1) Каре восьмерок или каре семерок . Тогда при пяти проходных картах их явно не хватает, чтобы блокировать шесть более старших каре (от девятки до туза );
Приведем описание таких уникальных карточных конструкций одного цвета.
( ПA, ПК, ПД, П8, П7 ) + Т10 + Б10 + ЧВ, Ч9 .
Во-вторых, чтобы игроку X не бояться ни одного из пятнадцати флеш-роялей (пяти в трефе + пяти в бубне + пяти в черве) противника, необходимо иметь во множестве четырех своих проходных карт две десятки, например П10 и Б10 + пара червей, которые совместными усилиями блокируют все червовые флеш-рояли. Отметим, что согласно предыдущему абзацу в этой червовой паре уже не может встречаться карта 10 , поскольку она уже дважды используется в трефе и бубне. Поэтому полный перечень всех девяти "пар убийц" задается списком:
Во-первых, чтобы игроку X не бояться ни одного из каре соперника, ему необходимо иметь в полном наборе представителей от всех восьми каре. Следовательно, в полном наборе (из девяти карт) лишь одно "достоинство" встречается дважды (например, 10 ), а остальные представлены в одном экземпляре.
Легко сообразить, что общая конструкция (с точностью до перемены всех цветов) определяется следующим образом. Проходные карты:
( A, 9 ); ( К, 8 ); ( К, 9 ); ( Д, 7 ); ( Д, 8 ); ( Д, 9 ); ( В, 7 ); ( В, 8 ); ( В, 9 ).
А карточная комбинация - пиковый цвет - задается как разность множеств
Т10 + Б10 + " пара убийц" (черва).
Теперь заметим, что полученная (и обязательная!) пиковая комбинация на руках игрока X всегда меньше следующей (и возможной!) комбинации ( A, К, Д, В, 9) (трефа или бубна) игрока Y .
{ А, К, Д, В, 9, 8, 7 } - " пара убийц" (в пиковом окрасе).
Таким образом, каре девяток с подходящим набором проходных карт оказывается той самой слабейшей комбинацией ***.
Разбор средних и низших комбинаций совсем прост, и его проведение предоставляем читателю.
З а д а ч а Пусть играют двое. Покажите, что за конечное время игра заканчивается.
В заключение заметим, что математические вопросы можно поставить, анализируя практически любую карточную игру. Так, для игры в "Подкидного дурака" сформулируем и решим следующие задачи:
Если n = 1, то через один ход игра, очевидно, заканчивается.
Р е ш е н и е. Обозначим через 2n общее число карт, находящихся в игре. Далее будем рассуждать по индукции.
а) один игрок все время "ходит", а другой принимает. Поскольку число карт конечно, игра заканчивается за конечное число ходов;
Пусть для 2,..., 2n конечность продолжительности игры установлена. Рассмотрим 2n + Возможны две ситуации:
З а д а ч а Пусть играют трое - X, Y и Z . Может ли игра продолжаться вечно?
б) если второму игроку удалось отбиться, общее количество карт уменьшается на четное число и, в силу индукции, игра завершится за конечное время.
игрок X имеет П6 и П7 ;
Р е ш е н и е. Может. Так, пусть в какой-то момент времени у каждого игрока на руках оказались две карты, а именно:
игрок Z имеет Б10 и БВ ; козырь червы.
игрок Y имеет Т8 и Т9;
Пусть каждый игрок при своем ходе выступает с карты наибольшего достоинства. В таком случае ни одному из игроков не удается "отбиться", и тогда возникает бесконечный циклический процесс:
При таком выборе шести разных карт у игроков нет дополнительной возможности "подкидывать" карты отбивающемуся. Это обстоятельство упрощает анализ игры.
затем Z ходит - X принимает,
X ходит - Y принимает,
(01) (02) (03) (04) (05) (06) (07) (08) (09) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96)
|
|