S/a8:35:27:3h/t1:21:12:1В таблице для примера и выбора основных показателейдля построения треугольника и трапеции приведены некоторые численные значенияпеременных, входящих в уравнения. С ее помощью можно задать отношение S/аи получить отношение h/t. 1

Давний автор журнала академик Николай АнтоновичДоллежаль - крупный специалист в области энергетики. В свободное времяНиколай Антонович занимается исследованием знаменитых задач древности,известных как трисекция угла, удвоение куба и квадратура круга (см. "Наукаи жизнь" № 7, 1993 г.; №№ 3, 8, 1994 г.; № 9, 1995 г.). Сложность всехэтих задач состоит в том, что решаться они должны без вычислений и расчетов,чисто геометрически, только с помощью циркуля и линейки без делений. Используяименно этот классический метод, Н . А. Доллежаль сумел найти очень изящноерешение задачи о делении на три равные части произвольного угла.
Суть этой геометрической задачи заключаетсяв отыскании графического метода деления произвольного угла на три равныечасти с помощью циркуля и обыкновенной линейки. Ниже приводим описаниеметода, решающего эту задачу независимо от размера и типа (острый, тупой)угла, предлагаемого для разделения. Ограничений на формы геометрическихфигур нет, численных измерений или вычислений не делается. Для примеравзят случайный угол.Геометрические элементы комбинируются геометрическойфигурой, состоящей из равнобедренного треугольника АВС с нижнимуглом В, подлежащим разделению на три равных угла, и равностороннейтрапеции АDFC, все четыре угла которой находятся на равном расстоянииот вершины угла В. Треугольник и трапеция сомкнуты своими основаниямиАС. Предлагаемый метод решения задачи состоит в следующем:1) Основанием для построения упомянутойгеометрической фигуры служат уравнения, связывающие основные ее элементы: (1)
(2)
(3)где S- основание треугольника и трапеции; а - сторона трапеции; t- высота треугольника; h - высотатрапеции.Главные элементы фигуры находятся во взаимнойзависимости: отношения основания к стороне трапеции и высот трапеции треугольникасвязаны уравнением (2).У отношений S/аи h/t есть пределы применимости:отношение основания трапеции к ее стороне находится в пределах 2 ... 3,а отношения высот трапеции и треугольника изменяются при этом от бесконечностидо За пределами этих ограничений построение фигуры треугольник плюстрапеция невозможно.

Рис 2.
На рис. 2 показано соотношение образовавшихсяуглов. Характерно, что нижние углы трапеции DАС =FСА равны одной трети разделяемого угла АВС.При построении геометрической фигуры нарис. 1 было принято отношение величины основания трапеции к ее стороне5:2 для простоты построений: этому соотношению отвечает равенство высоттрапеции и треугольника.

Рис 1.
На рис. 1 представлено решение задачи предлагаемымметодом. В качестве примера, не имеющего принципиального значения, взяторавенство высот треугольника и трапеции. Для большей наглядности на рисункеприведены дополнительные геометрические построения: деление угла надвое,проведение параллельных линий и нанесение равномерных делений.Решение задачи начинается с деления заданногоугла АВС пополам линией ВЕ и проведения под прямым угломк ней через точку В горизонтальной линии XY. Налинии ХY в обе стороны от точки В наносятся деления, отвечающиеотношению основания трапеции к ее стороне, в данном случае 5 и Это соотношениеполучено из уравнения (2) при условии равенства высот - см. таблицу.Из точек, отвечающих делению 5, проводятсяпараллели биссектрисе ВЕ до пересечения со сторонами угла в точкахА и С. Линия АС служит общим основанием треугольникаи трапеции, отрезки АВ и ВС равны. Из точек, отвечающих отметке2 на отрезке XY, проводятсялинии, также параллельные биссектрисе угла АВС, и на них отрезкамиBD и BF,равными сторонам треугольника ВА = ВС,отмечаются точки D и F- вершины углов трапеции АDFC. Точки Dи F определяют высоту ВЕ,равную сумме высот треугольника и трапеции.Для проверки и доказательства проводятсядиагонали AF и DCтрапеции АDFC, пересекающиеся в точке Zна средней линии треугольника АВС. Образовавшиеся два треугольникаАDF и DFC равнобедренные,поскольку их основания, т. е. диагонали трапеции, разделены в точках Тнадвое, пересекаясь в них с радиусами ВD и ВF и средней линиейРР трапеции. Сторона DFпринадлежит обоим треугольникам, поэтому треугольники АВD, DВF иFВС равны. Все три их угла с вершинами в точке В равны междусобой и в сумме составляют заданный угол АВС.Отрезки прямых DMи FN образуют стороны ромбовADFN и DFCM,своими геометрическими свойствами подтверждающих правильность построения.

Рис 4.
Графически равенство (4) проверяется так (рис. 4). Берется произвольныйугол PQN, разделенный биссектрисой QQ?.На левой стороне угла от точки Qциркулем откладываются отрезки S_аи а, образующие точки Р и L. Далее точкаР соединяется с точкой Q?и из точки L проводится параллельнаяРQ? линия LQ???. Этоозначает, что на биссектрисе угла возникла отметка Q,причем а/(S_а)== QQ??/QQ?. На правой стороне угла откладываем циркулем отрезки 2t+hи t+h из построенногочертежа. Конец отрезка 2t+h- точку N - также соединяемс точкой Q?, а из точки М - конца отрезка t+h- проводим линию, параллельную NQ?.На средней линии угла отмечается отношение (t+h)/(2t+h)=QQ???/QQ?. Если линии LQ?? и МQ???пересекаются на средней линии угла, это означает, что левая и правая частив формуле равны. Что и требуется.Можно ли путем измерения соответствующихотрезков, в частности оснований треугольников, определить их длину? Нельзя,так как каждый служит хордой соответствующей воображаемой дуги окружности,содержащей долю, не поддающуюся измерению. Для определения точности решениязадачи может быть использован только графический метод.Таким образом, нами предложено доказательствовозможности графического деления угла на три с помощью циркуля и линейки.Остается графически не выясненной связь элементов трапеции и треугольников,иными словами, зависимость между стороной трапеции а и высотой треугольникаt. Эта задача может иметь самостоятельныйхарактер для принципа построения трапеции.Приношу благодарность профессору МГТУ В.И. Солонину за благожелательную критику. Академик Российской АН
Н. ДОЛЛЕЖАЛЬ.

Рис 3.
На рис. 3 построена фигура "треугольник- трапеция" для сравнительно острого угла АВС. Исходным принимаетсяотношение высоты треугольника к сумме высот треугольника и трапеции, равное5:6, которому, согласно уравнению (1), отвечает значение S/а= 17/ Как и в
первом случае, это значение поровну, т. е. 8 1/2 к 3, откладываетсяна линии XY в обе стороны от точки В,и производятся аналогичные построения.Вообще, нет необходимости предварительнопринимать численные значения S/а.Достаточно на линиях ВХ и ВY из точки В отложить по три равных отрезка,отметив их концы, и из любой точки между второй и третьей отметками построитьперпендикуляры до пересечения со сторонами угла В в точках А и С. Затемиз первой отметки также восстановить перпендикуляры и на них отложить точкиD и Fна расстоянии от точки В, равном стороне треугольника АВС.Если из точек А и С на линияхВD и ВF отложить по две равноотстоящие точки Nи М, получим отрезок NM,равный S_2а. Отношениеэтой длины к а определяет отношение высот трапеции и треугольника согласноформуле (2).В остальном поступают, как и в первом случае. Правильность построенияможно проверить по формуле(4)следующей из (2). Сумма t+hникогда не превышает сторону ВА(ВD)треугольника.