Главный фактор,влияющий на рост детей, -генетически обусловленный рост ихродителей. Статистическиеисследования показывают, что ростребенка зависит от него примернонаполовину. А остальные пятьдесятпроцентов учесть гораздо сложнееили совсем невозможно. Это -контролируемые с трудом илинеконтролируемые вовсе образжизни, полезные и вредные привычки,качество питания, условия средыобитания, мутагенные изменения.

Молодымродителям, конечно, хочется знать,какого роста будет их ребенок, ставвзрослым. В антропометрическомкабинете обычно спрашивают: каковырост отца (П), матери (М),какой рост был у них при рождении исколько им сейчас лет. Эти данныетут же обрабатывает компьютер идает прогноз: когда дети вырастут,то наиболее вероятный рост дочери (Д)или сына (С) будет таким-то.Оценить ожидаемый рост можно исамим с помощью калькулятора, необращаясь к медикам.

Оптимальноезначение К вычисляетсяособенно просто, если по природезадачи прямая проходит черезначало координат. В нашей задаче,естественно, она идти так не будет(рост не может быть равен нулю) иформулы для вычисления К и b оказываются болеегромоздкими, хотя и не выходящимиза рамки школьной алгебры.

Тем не менеематематическая статистика можетпредложить простую линейнуюзависимость для приближен нойоценки роста детей, исходя толькоиз роста отца и матери, а такжеуказать точность такой оценки.Опрос трех десятков семей позволилпостроить статистическуюзависимость - "облако точек"внутри эллипса, вытянутоговправо-вверх: действительно, чембольше рост родителей, тем большерост их детей. Но пользоваться"облаком точек" неудобно.Математики ищут такую прямую иликривую, проходящую через него,чтобы, задав величину на осиабсцисс, получить соответствующееей значение на оси ординат свозможно меньшей ошибкой. Обычноэтого достигают при помощи такназываемого метода наименьшихквадратов, отыскивая линейнуюфункцию y = Кx+ b, где К -коэффициент наклона прямой(тангенс ее угла с осью абсцисс), b - отрезок, отсекаемыйна оси ординат.

В нашей задаче x= П + М, y = Д или y = С. Путем опросамосквичей было получено несколькодесятков значений роста родителей (Пи М) и детей (Д и С).Вычисления дали для дочери К= 0,505, b = 5 см; длясына
К = 0,57, b = 14,5 см.

Их вывод можнонайти в книге: Я. Б. Зельдович, А. Д.Мышкис. "Элементы приклад- нойматематики ". М.: Наука, 1965 и болеепоздние издания.

В теориивероятностей как рассчитываемые(рост детей), так и исходныевеличины (рост родителей)называются случайными величинами.Здесь мы нашли лишь наиболеевероятную величину роста взрослогосына и дочери. Отклонения, конечно,возможны, их легко наблюдать убратьев или сестер в полномсоответствии с законом нормальногораспределения случайных величин -самым распространенным в природе.На графике этот закон имеет видколоколообразной кривой: в центренаходится наивероятнейшеезначение случайной величины, по обестороны расположены отклонения,вероятность которых быстростремится к нулю при их нарастании(ее еще называют гауссовской кривойпо имени великого немецкогоматематика Карла Гаусса, которыйвывеланалитический вид нормальногозакона распределения - см. "Наукаи жизнь" № 2, 1995 г.).Математическая статистика можетоценить и наиболее вероятныеотклонения от прогнозируемойвеличины, как часто говорят:величина плюс-минус столько-то. Дляэтого сначала надо задатьдоверительную вероятность оценки -обычно 90, 95 или 99%. В рассматриваемомслучае довольно сильного разбросаслучайных величин разумно задатьдоверительную вероятность в 90%.Довольно сложные расчеты позволяютполучить так называемыегиперболические доверительныезоны регрессии (на рисунке онизаштрихованы), а попросту - величинывероятных отклонений от прямой.

В результате длярасчета ожидаемого роста дочериполучилась формула: Д = 0,505(П + +М) _ 5 см. Например,рост отца 180 см, рост матери 161 см, всумме 341 см. Умножив последнюювеличину на 0,505 и вычтя 5 см, получиможидаемый рост взрослой дочери 167,2см. В формуле для оценки роставзрослого сына вместо 0,505 нужнобрать 0,57, а вычитать, вместо 5 см, 14,5см: С = 0,57(П+ М) _ 14,5.Например, у тех же родителей роствзрослого сына составит, скореевсего, 179,9 см.

Окончательныйответ должен звучать примерно так:если рост отца 180 см, а матери 161 см,то наиболее вероятный рост ихвзрослой дочери будет 167,5 см, причемотклонение от этого значения невыйдет за пределы плюс-минус 4 см свероятностью 90%.

 Графикистатистической зависимости ростасына (С) и дочери (Д) от роста ихродителей (П + М). Границызаштрихованной области позволяютоценить, каким, с вероятностью 90%,будет истинный рост детей.

Докторгеолого-минералогических наук
Б. ГОРОБЕЦ.

Объемстатистической выборки, собраннойстудентами, невелик - всеготридцать точек. Поэтому точностьрасчетов тоже не ахти какая -плюс-минус 4-5 см. В серьезнойнаучной работе обработка данныхдля людей проводится нарепрезентативных выборках (этоттермин сейчас часто употребляетсяпри публикации данных опросовобщественного мнения и означает,что их можно обобщить на оченьбольшую группу населения) объемомпорядка тысячи человек. Вместе стем нам кажется, что точностьрешения этой задачи увеличится ненамного даже для больших выборок;по-видимому, она не будет вышеплюс-минус 3-4 см из-зафизиологических, генетических иэкологических причин, влияющих наразвитие человека. Нам же хотелось,во-первых, дать простую возможностьлюбому желающему удовлетворить егостоль естественный личный интерес.И, во-вторых, предложить студентам,изучающим теорию вероятностей иматематическую статистику (которуюсейчас проходят в широчайшемдиапазоне специальностей), и ихпреподавателям интересную иблизкую всем тему для решениястатистической задачи. Вполневозможно, что они получат болеепредставительные выборки и отыщутболее точные и надежные формулы дляпрогноза ростанаших детей.