Как ни странно это сказать,
а художество требует еще большей
точности, чем наука.
Лев Толстой.

Что общего между игрой в“орлянку”, поведением людских толп и распадомкуска радиоактивного вещества? Все эти явленияподчиняются так называемому закону большихчисел. И. ГОЛЬДФАЙН.

Можно ли заменить сражение двух армийпоединком? Картина М. Авилова “ПоединокПересвета с Челубеем”. В рассказе “Севастополь в мае” Л. Н. Толстойпредлагает заменить сражение армий поединкомдвух солдат:



Это предложение — только шутка, сражение никакне сводится к серии поединков. И нельзя считать,что “один против одного все равно, что стотридцать пять тысяч против ста тридцати пятитысяч”. Против этого возражает теориявероятностей, один из важнейших разделовматематики, изучающий ситуации, в которых можетбыть несколько непредсказуемых исходов (в нашемслучае у поединка их два). Каждому исходуставится в соответствие его вероятность,положительное число p, непревышающее

“... какая бы была разница между одним русским,воюющим против одного представителя союзников, имежду 80 тысячами русских, воюющих против 80 тысяч?Отчего не 135 тысяч против 135 тысяч? Отчего не 20тысяч против 20 тысяч? Отчего не один противодного? Никак одно не логичнее другого”.

При выполнении некоторых, вполне естественных,условий проявляется следующее важнейшеесвойство вероятности.

Теория вероятностей применима только кмногократно повторяющимся событиям. Например,если один человек имел контакт с заразнымбольным, то он может заразиться, а может и незаразиться. Но если в городе появятся сотнибольных с остро заразным заболеванием, с помощьютеории вероятностей можно предсказать скоростьраспространения эпидемии.

Если вместо выражений “естественные условия”,“примерно” и так далее подставить точныеформулы, получим закон больших чисел. Такоеназвание связано с тем, что чем больше N, тем точнее он выполняется. Этотзакон позволяет предсказывать результатысобытий с “непредсказуемым” исходом. Суть егозаключается в следующем.

Пусть вероятность одного исхода некоторогоявления равна p, и пустьэто явление повторяется многократно N раз. Тогда этот исход произойдетпримерно pN раз.

Рассмотрим простейший опыт — бросание монеты.У него два исхода: монета может упасть орлом илирешкой. Обоим исходам естественно приписатьравные вероятности 0, Поэтому, опираясь на законбольших чисел, можно смело утверждать, что, еслимонету бросить 1000 раз, орел выпадет примерно 500раз. И такие опыты проводились: американскийстатистик А. К. Пирсон бросил монету 24000 раз,получив 12012 гербов.

Если явление подчиняется вероятностнымзаконам и повторяется много раз, можно заранеедостаточно точно предсказать, сколько разпроизойдет каждый из возможных его исходов, хотяневозможно заранее предсказать результат вкаждом конкретном случае.

Пример из биологии — опыт Грегора Менделя,который сеял гибридные семена гороха желтогоцвета, а получал желтые и зеленые семена, причем вотношении примерно 3: Впоследствии, с развитиемгенетики, было найдено биологическоеобоснование этого явления, названного“расщеплением признаков”.

Атомы радиоактивных изотопов самопроизвольнораспадаются, причем можно вычислить вероятность p распада атома за некоторое время. Арассчитав по закону больших чисел время, закоторое распадется половина атомов элемента, мыполучим важнейшую его характеристику — периодполураспада.

А теперь попробуем опять вернуться к Л. Н.Толстому. В рассуждениях о роли личности вистории, щедро разбросанных по роману “Война имир”, он исходит из того, что каждое историческоесобытие — результат действия громадного числалюдей. Действия этих людей непредсказуемы, и,следовательно, никто не может своими действиямиповлиять на ход истории. “Такой же причиной(войны. — И. Г. ), как отказ Наполеона отвестивойска за Вислу... представляется нам и желаниеили нежелание первого французского капралапоступить на вторичную службу: ибо, ежели бы он незахотел идти на службу и не захотел бы другой итретий, и тысячный капрал и солдат, настолькоменее людей было бы в войске Наполеона, и войны немогло бы быть”.

Удивительно, что не только атомы и семенарастений, но и поведение людей подчиняетсязакону вероятности. Человек часто не знает, какон поступит в определенной ситуации, а планируядело, в котором должно участвовать много людей,необходимо предсказать их поведение. К счастью,часто можно прямо или косвенно оценитьвероятность выбора человеком одного вариантаповедения из нескольких возможных и оценить,сколько народу будет вести себя соответствующимобразом.

Но Наполеон один, а капралов много, и поэтомурешения Наполеона не подчиняются закону большихчисел, а решения капралов ему подчиняются. Можнооценить, сколько их запишется на второй сроквесной 1812 года, вычислив соответствующуювероятность по данным за 1811 год.

Писатель рассуждает от противного: еслипризнать, что ход исторических событий зависелот решений Наполеона, то получается, что онзависел также и от решений первого, второго ивсех остальных капралов.

Наполеон вряд ли, конечно, рассуждал подобнымобразом, но на основании опыта мог полагать, чтоотносительно поведения капралов весна 1812 года небудет сильно отличаться от весны 1811 года. Так чторешение капрала и решение Наполеона — вещинесравнимые. Почему же столь очевидныесоображения не учел писатель?

Невозможно было предсказать заранее,подпишется ли на второй срок конкретный капралЖак. Даже если изучить его личность и все егообстоятельства, получить точный ответневозможно, поскольку человек способен нанеожиданные, непредсказуемые поступки. Ноповедение многотысячной массы солдатподчинялось законам теории вероятностей.

Во времена Льва Толстого человек, приезжавшийпо железной дороге в город, брал извозчика.Рассуждения писателя могли привести к выводу,что каждый пассажир рискует оказаться внезавидной ситуации, “если первый извозчик вэтот день не приедет к вокзалу, и второй, и третий,и...”. Однако ни самого писателя, ни егопопутчиков эта проблема не волновала. Опытпоказывал, что, как правило, на вокзалахизвозчиков было достаточно, и такие аналогии неприходили на ум писателю.

А очевидны ли эти соображения? И если очевидны,то для кого? По-видимому, подобные аналогииестественны только для человека, знакомого стеорией вероятностей, привыкшего иметь дело сявлениями, исход которых зависит от множестваслучайностей.

Еще недавно царила иллюзия, что с помощьюматематики вот-вот будет сказано новое слово вэкономических, политических и другихобщественных науках. Теперь, похоже, маятниккачнулся в другую сторону, и все идет к тому, чтоскоро возможности математики будут принижаться.Но при любых оценках бесспорным остается то, чтоматематика позволяет видеть общее в совершенноразличных на первый взгляд явлениях природы,общественной и экономической жизни.

Но что же общего между столь несхожимиявлениями: капралом, который может пойти, а можети не пойти на вторичную службу; извозчиком,который может поехать и может не поехать навокзал, и, наконец, атомом, который можетраспасться, а может и не распасться в данныймомент? То, что все они, по существу, подчиняютсяодному и тому же закону больших чисел, хотя напервый взгляд аналогию между ними подметитьтрудно.